量子态不可克隆定理不成立的证明

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  —— 量子通讯无条件保密的物理学基础不指在 ——  

 梅晓春1       李小坚2  

(1)福州原创物理研究所                  (2)北方工业大学自动化系

  内容摘要 量子通信被认为具有绝对的保密性,它的物理学基础是“量子态不可qqqq克隆好友 定理”。本文证明你你这名定理不成立,理由如下。1. 该定理假设任意量子态还会还里能 qqqq克隆好友 的,证明原先量子态可qqqq克隆好友 的条件为,实际上认为量子态还里能 qqqq克隆好友 ,“量子态不可qqqq克隆好友 定理”名不符其实 。本文进一步证明,指在无穷多的满足你你这名原先条件,因此“量子态不可qqqq克隆好友 定理”应当改为“量子态可qqqq克隆好友 定理”。2.表示原先正交的量子态还里能 qqqq克隆好友 ,对于的非正交态的状况,现有理论这么 讨论,本文删改讨论你你这名状况。3. 考虑量子力学波函数的完备性,非正交态还里能 按照厄密算符的本征态展开,本文证明对于任意本征态数的量子态,总还里能 找到无穷多个非正交的波函数,使它们满足可qqqq克隆好友 的条件。4. 量子qqqq克隆好友 算符对波函数叠加态作用,会因为着自相矛盾的结果。本文证明,其根源在于量子qqqq克隆好友 算符的定义是自相矛盾的。它不改变任意波函数的形式,却还里能 将纯态波函数变加进任意波函数,原先的算符不因此指在。5. 量子态qqqq克隆好友 的真正问題沒有于理论上与否并能qqqq克隆好友 ,而在于qqqq克隆好友 过程中线性叠加态不可输入和不可输出,你你这名不因此性与“量子态不可qqqq克隆好友 定理”的证明无关。6. 一定量实验证明,微观粒子的单量子态还会还里能 qqqq克隆好友 的,说量子态不可qqqq克隆好友 毫无道理。7.在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方输入和输出的还会光子的单个偏振态,它们还会还里能 qqqq克隆好友 的。由此本文的结论是,“量子态不可qqqq克隆好友 定理”是原先概念含糊、矛盾重重、删改错误的命题。建立在你你这名定理的基础上,量子通讯所谓的无条件保密性根本不指在。

  关键词 量子力学,量子通讯,qqqq克隆好友 算符,量子态不可qqqq克隆好友 定理,BB84协议

  一. 量子通讯与“量子态不可qqqq克隆好友 定理”

  量子通信被认为具有绝对的保密性,其物理学基础是所谓的“量子态不可qqqq克隆好友 定理”。Wootters和Zurek 1982年在《Nature》上发表文章,提出你你这名著名的定理【1】。然而仔细考察该定理的证明过程和结论,作者发现指在有些问題。“量子态不可qqqq克隆好友 定理”实际上不成立,量子通信的绝对保密性的物理学基础是不指在的。

  从“量子态不可qqqq克隆好友 定理”的证明过程还里能 看出,该定理的前提是假定任意量子态都还里能 qqqq克隆好友 。因此给出另外原先量子态还里能 qqqq克隆好友 的条件为,不满足这原先条件的态才是不可qqqq克隆好友 的。代表原先态正交,表示原先态不正交,它们还会还里能 qqqq克隆好友 的。因此“量子态不可qqqq克隆好友 定理”名不符其实 !本文进一步证明,按照Wootters和Zurek的qqqq克隆好友 算符定义,对于任意量子态,指在无穷多的满足的条件。对于的状况,现有理论认为它因为着,是原先平庸解,这么 讨论价值。本文指出无须一定因为着,并对你你这名状况进行删改讨论。考虑量子力学厄密算符本征函数的完备性,任意定态波函数都还里能 表示为厄密算符本征态波函数的叠加。本文证明对于叠加态数目的波函数,总还里能 找到无穷多个与不正交的,使它们满足的可qqqq克隆好友 条件。因此“量子态不可qqqq克隆好友 定理”实际上应当改成“量子态不可qqqq克隆好友 定理”。

  有些文献又把该定理称为“未知量子态不可qqqq克隆好友 定理”,然而对哪几种是未知的量子态,却这么 明确的说明【2】。事实上,“未知量子态不可qqqq克隆好友 定理”的说法在字面上假如有问題的,因此原先量子态是未知的,我不知道原型和模板,又为社 并能qqqq克隆好友 呢?比如对于叠加态,因此已知,你你这名态就已知。因此任意,你你这名态就未知。要qqqq克隆好友 你你这名态首先还里能 知道。这是先决条件,未知态不可qqqq克隆好友 的说法毫无意义。事实上如本文证明,按照Wootters对qqqq克隆好友 算符的定义,即使未知,仍然还里能 找到无穷多的,使之满足的条件,因此“未知量子态不可qqqq克隆好友 定理”的说法也是不成立的。

  将量子qqqq克隆好友 算符对波函数叠加态作用,会因为着自相矛盾的结果。本文指出其根源在于量子qqqq克隆好友 算符的定义是自相矛盾的。将量子态qqqq克隆好友 算符作用在任意波函数上,其形式不变。将你你这名算符作用在原先纯态上,却还里能 将它变成任意波函数,原先的算符是不指在的。事实上量子qqqq克隆好友 算符假如原先抽象符号,这么 具体形式。因此其定义是自相矛盾的,在数学上根本不因此找到它的具体形式。而在量子力学中,任何算符都还里能 有它的具体形式。

  事实上,量子态qqqq克隆好友 的真正问題沒有于理论上与否并能qqqq克隆好友 ,而在于qqqq克隆好友 过程咋样输入和输出线性叠加态。按照量子力学的测量理论,测量因为着波函数崩塌。量子态qqqq克隆好友 过程首先还里能 输入量子态,而输入过程也还里能 看成四种 测量操作。因此量子叠加态是不可输入的,因此一旦进行操作,叠加态就会被破坏。在你你这名意义上,谈论线性叠加态的qqqq克隆好友 是这么 意义,但它与“量子态不可qqqq克隆好友 定理”的证明无关。

  在实验方面,“量子态不可qqqq克隆好友 定理”显然与事实不符。一定量实验证明,微观粒子的单量子态还会还里能 qqqq克隆好友 的。激光器不但并能qqqq克隆好友 单个光子,然还里能 够大批量地qqqq克隆好友 各种光子。连续光谱激光器不但还里能 qqqq克隆好友 四种 单光子,然还里能 否通过调整参数,来一定量qqqq克隆好友 各种各样的光子。在物理学中,量子态的制备早就因此是原先相当心智旺盛期是什么是什么是什么期图片 图片 的句子的学科。

  在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方每次输入和输出的还会光子的单个偏振态,而还会所谓的线性叠加态,它们还会还里能 qqqq克隆好友 的。然而“量子态不可qqqq克隆好友 定理”给人的一般印象却是,任何量子态还会可qqqq克隆好友 ,这是不真实的。

  实际量子态的qqqq克隆好友 涉及相互作用,是原先非常简化的过程,还会用Wootters定义的你你这名简单算符就能表示的。“量子态不可qqqq克隆好友 定理”是原先概念含糊、矛盾重重、删改错误的命题,不但毫无意义,因此严重误导物理学理论和量子技术的发展。

  因此本文的结论是,“量子态不可qqqq克隆好友 定理”不成立,量子通讯所谓的具与否条件保密性的物理学基础不指在。

  二.“量子态不可qqqq克隆好友 定理”的证明

  “量子态不可qqqq克隆好友 定理”的证明其实 非常简单,以下介绍P. Yuen 和 M. D′Ariano 的推广证明【2】。 假设作为待qqqq克隆好友 模板的粒子指在任意态,另外原先粒子指在标准的纯态。Wootters和Zurek引入原先qqqq克隆好友 量子态的幺正算符,它对的作用是:

至于的具体形式咋样,Wootters这么 说明,这么 根据具体的状况选者。与图片复印的过程比较,算符相当于复印机,相当于要复印的图片,相当于白纸。

  采用相同的纯态,将qqqq克隆好友 算符对另外原先任意态作用,按照(1)式还会:

将(2)和(3)式的两边取内积,得:

考虑到,从上式得到:

(4)式有原先解,。因此这原先条件满足,就还里能 qqqq克隆好友 。因此不满足,就不可qqqq克隆好友 。现有理论讨论了的状况,对的状况这么 讨论,本文重点对的状况进行讨论。

  以上证明的前提是,假定任意量子态还里能 qqqq克隆好友 。即指在原先算符,还里能 把纯态变成态,因此讨论在哪几种状况下还里能 qqqq克隆好友 的问題。因为着正交态是还里能 qqqq克隆好友 的,用通俗的语言说,假设有一台量子qqqq克隆好友 机,它并能qqqq克隆好友  态,就一定并能qqqq克隆好友 与态正交的态,但这么 qqqq克隆好友 与不正交同去又有的态。

  因此按照你你这名证明,量子态还会这么 否qqqq克隆好友 ,假如有选者性地qqqq克隆好友 。对于不同的量子态,还里能 不同的qqqq克隆好友 机,亲戚亲戚亲们还里能 制造不同的qqqq克隆好友 机,来qqqq克隆好友 不同的量子态。因此所谓的“量子态不可qqqq克隆好友 定理”名不符其实 ,实际上应当改成“通用量子态qqqq克隆好友 机不指在定理”。

  三.“量子态不可qqqq克隆好友 定理”不成立的证明

  3. 1 量子态qqqq克隆好友 算符在数学上不成立

  按照(2)式的定义,qqqq克隆好友 算符对波函数的作用满足以下关系:

这因为着不改变任意波函数,即,但却还里能 将纯态波函数变成,即因为着是不变算符,即。因此也是任意的,与还里能 删改不一样,因为着还会不变算符,应当将写为:

因此,还会,因此量子qqqq克隆好友 算符的定义自相矛盾,是不因此指在的。

  亲戚亲戚亲们还里能 举原先具体的例子。假设要qqqq克隆好友 氢原子的第一激发态,原先合理的做法假如,把氢原子的基态波函数看成是纯态,即令。它们的具体形式是:

因此式正交的,按照(2)的定义,是还里能 qqqq克隆好友 的,qqqq克隆好友 过程是:

显然不因此找到原先算符,能使 同去成立,因此(8)式不因此成立。

  事实上,量子力学波函数的数学形式都比较简化。要将原先纯态波函数变成另外原先波函数保持不变,又还里能 将任意纯态波函数变成态波函数。在你你这名算符基础上证明“量子态不可qqqq克隆好友 定理”是这么 意义的。

  3. 2 量子态qqqq克隆好友 算符在物理上不成立的例子

  一般而言,(1)式在物理上也因此不成立。举原先简单例子,氢原子的跃迁过程满足有些禁戒规则,比如角量子数和磁量子数还里能 满足。因此从基态到诸如的激发态是不因此的。然而是正交的,按照(4)式,令的态是还里能 qqqq克隆好友 的。

  事实上,量子态的qqqq克隆好友 是原先非常简化的问題,根本不因此通过(1)式那样简单定义,以及(4)式那样简单的结果就能判断的。建立在Wootters定义的qqqq克隆好友 算符的基础上的,所谓的“量子态不可qqqq克隆好友 定理”毫无意义。

  3. 2 指在无穷多的可qqqq克隆好友 非正交态

  以下证明对于,仍然还里能 有。按照(4)式,你你这名非正交态仍然还里能 qqqq克隆好友 。量子力学用厄密算符代表力学量,将它作用于波函数的某个定态,得到:

常数被称为本征值。量子力学厄密算符有以下原先基本性质【3】:

  1. 厄密算符具有选者本征值的本征函数指在正交性。设对应的本征值互不相等,则有

  2. 厄密算符本征函数具有完备性。数学还里能 否严格证明,任意量子力学定态波函数都还里能 表示为厄密算符本征态波函数的叠加,即:

  按照以上原先性质,亲戚亲戚亲们来重新讨论“量子态不可qqqq克隆好友 定理”的证明。将系统的任意原先波函数写成为:



 

考虑到波函数的归一化,展开系数满足条件:

将(12)式代入(4)式,得:

因此,(13)式变成:

要使(14)式成立,还里能 :

或:

(15)式表示正交,(16)式表示不正交。比如时,考虑到系数因此是复数,(15)实际上应当写成:

假设已知,则已知。上式剩余原先方程,有原先未知数,唯一选者。解方程得。因此对于的状况,对于任意波函数,总还里能 找到另外原先波函数与它正交。按照Wootters对qqqq克隆好友 算符的定义,它们还会还里能 qqqq克隆好友 的。

  对于的状况,(15)式变为:

假设已知,则已知。上式剩余原先方程,选者原先未知数,还会无穷多种最好的妙招。也假如说对于,还里能 与否穷多个与之正交,因而通用量子态qqqq克隆好友 机指在。

  对于不正交,的状况,时,(14)式变成:

假设已知,已知。从剩余的原先方程解得,因此这么 才因此。因为着你你这名态还里能 qqqq克隆好友 ,但一台qqqq克隆好友 机这么 qqqq克隆好友 原先量子态。

  对的状况,比如,(18)式变成:

假设已知,,则已知。上式剩余的原先方程,选者原先未知数,原则上与否穷多个解。因此它们都并能满足(4)和(16)式,按照定义还会还里能 qqqq克隆好友 的。

  以下举原先具体例子,比如,从第原先式子得到。选者,按照(20)式,可得以下波函数:

这原先波函数是非正交的,但仍然满足可qqqq克隆好友 条件,还里能 用同一台qqqq克隆好友 机qqqq克隆好友 。

  任意选者的值,还里能 得到任意多个,都能满足(16)式。由此证明在的状况下,“量子态不可qqqq克隆好友 定理”不成立。亲戚亲戚亲们总还里能 找到无穷多的,使它们满足可qqqq克隆好友 的条件。

  3. 3 qqqq克隆好友 算符作用于线性叠加态因为着矛盾

  按照Wootters的证明,线性叠加态是还里能 qqqq克隆好友 的。在(4)式的导出过程中,还里能 有单态,也还里能 有叠加态。然而对于叠加态,按照(1)式的定义会产生矛盾。以叠加态为例,将qqqq克隆好友 算符作用其上,还里能 得到四种 结果。第四种 是qqqq克隆好友 算符先对单个态作用,即:

第二种qqqq克隆好友 算符只对整个叠加态作用,即:

(23)和(24)式相互矛盾。文献【4】认为(23)式是还里能 实现的,理由是基矢还里能 qqqq克隆好友 的。(24)式则是不可实现,但这么 说明因为着。

  你你这名看法其实 很重道理,但这么 找到问題的本质。因此按照qqqq克隆好友 算符的定义,以上四种 计算最好的妙招还会合理的。亲戚亲戚亲们这么 说哪四种 对哪四种 错,从逻辑上也还里能 认为(24)式这么 错。事实上,(11)、(21)和(22)式还会叠加态,按照前文对(4)式的讨论,它们还会还里能 qqqq克隆好友 的。

  以下来讨论(24)式不因此成立的因为着。还里能 将(24)式看成qqqq克隆好友 算符作用在波函数上得到的新的波函数,令:

考虑到波函数是不可测量的,并能测量的是波函数的平方,还会:

可见按照(24)式,新的波函数的归一性被破坏。然而按照量子力学,对波函数进行变换是不因此改变归一性的。事实上将(23)式进行同样的变换,新的波函数归一性仍然指在。产生问題的本质因为着在于,如前文所述,qqqq克隆好友 算符的定义(1)式四种 假如矛盾的。你你这名矛盾必然要在具体过程中体现出来,对波函数叠加态的作用假如原先例子。

  四.波函数的线性叠加态不可输入和不可输出

  讨论线性叠加态的qqqq克隆好友 问題,还里能 先了解线性叠加态的真内外部理意义。量子力学数学原先统计理论,对于叠加态,量子力学的几率统计解释认为,叠加态由原先态组成,经常出现的几率是态经常出现的几率是。它无须因为着原先态还里能 同去经常出现,假如认为在任意时刻只经常出现其中的原先态。

  比如对于氢原子中的原先电子,它不因此同去即指在基态,又指在第一激发态。这原先状况指在能量差,从基态进入激发态是还里能 能量输入的。亲戚亲戚亲们不因此同去qqqq克隆好友 氢原子的这原先态,这么 qqqq克隆好友 其中的原先态。在你你这名意义上,谈论线性叠加态的qqqq克隆好友 四种 假如这么 意义的。

  因此按照量子力学的哥本哈根解释,即所谓的量子力学测量理论,对线性叠加态(8)进行测量,会使波函数崩塌到其中的原先态。比如对于叠加态,任何单次测量这么 得到其中的原先态,不因此同去得到原先态,这与量子力学的统计解释结果是一样的。

  因此量子态qqqq克隆好友 真正的问題在于,波函数的线性叠加态即无法输入也无法输出。从实际操作的角度,为了并能qqqq克隆好友 原先量子叠加态,首先还里能 进行测量,以了解你你这名态的状况。qqqq克隆好友 过程还里能 输入和输出量子态,而输入和输出也还里能 看成是四种 测量。因此测量因为着叠加态的崩塌,量子叠加态的输入和输出自然是不因此的。

  在实际的过程中,量子态的qqqq克隆好友 涉及简化的相互作用,还会用(1)式那样简单的算符就能表示。所谓的“量子态不可qqqq克隆好友 定理”指在太大的问題,实际上不成立。考虑到单个量子态实际上还会还里能 用qqqq克隆好友 的,亲戚亲戚亲们应当说:

  量子力学定态波函数(8)式中,任何具有选者本征值的单态还会可qqqq克隆好友 的。对量子定态波函数的叠加态,每一次qqqq克隆好友 将得到其中的原先单态,多次qqqq克隆好友 结果得到态的几率为

  这么 原先理解,并能与量子力学的统计性质和实际物理过程一致。

  五.结论:哥本哈根解释误导量子技术

  Wootters的定义qqqq克隆好友 算符四种 假如自相矛盾的。将qqqq克隆好友 算符作用在任意波函数上,该波函数变成不变。作用在任意纯态波函数上,却还里能 将变成任意。你你这名自相矛盾的算符在数学上是不因此指在的,因为着“量子态不可qqqq克隆好友 定理”成为原先含糊不清,充满矛盾和错误的命题。

  按照Wootters对qqqq克隆好友 算符的定义,满足的量子态还会还里能 qqqq克隆好友 的。而在实际的过程中,满足这原先条件的量子态却无须并能qqqq克隆好友 。因此“量子态不可qqqq克隆好友 定理”不指在。

  因此考虑量子力学波函数的完备性,任意波函数都能写成本征态波函数的叠加。对于本征态数的任意量子力学波函数,总还里能 找到原先波函数与它正交。对于的任意量子力学波函数,除了还里能 找到无数的波函数与它正交外,还还里能 找到无数个波函数,使它们的积分满足。因此“量子态不可qqqq克隆好友 定理”实际上应当称为“量子态可qqqq克隆好友 定理”。

  将qqqq克隆好友 算符作用到量子叠加态,会因为着矛盾的结果。这无须因为着叠加态不可qqqq克隆好友 ,假如qqqq克隆好友 算符的定义四种 有问題。量子态qqqq克隆好友 的真正问題在于,叠加态的输入和输出是不因此的,你你这名不因此性与Wootters的证明无关。

  在本文初稿完成后,作者看过中科院理论所孙昌璞院士的一篇文章,题目为“量子力学的诠释问題”【5】。该文文摘中说:“对于量子力学的诠释…亲戚亲戚亲们迄今为止并未形成共识。量子力学发展的你你这名二元状况不仅带来认识论方面的误导,因此最好的妙招备受争议的哥本哈根诠释建立的量子技术会有相对根本性的问題”,物理学家还里能 “通过进一步澄清量子力学诠释中的基本概念,补救量子观念的滥用因为着的认识论上的问題和量子技术误入歧途”。

  作者非常认同孙昌璞先生的你你这名看法。早期的量子力学哥本哈根解释纯粹是原先科学哲学问題,但现在它因此还会纯理论问題。它因此越界进入技术领域,因此深入地影响到量子技术,严重地误导了量子技术的发展和应用。从对贝尔不等式的实验检验,到量子通信和量子计算机,到处都还里能 看过哥本哈根解释的误导带来的恶果。

  哥本哈根解释有原先奇怪的说法,即原先量子态在这么 被测量事先亲戚亲戚亲们对它哪几种假如能说。它是指在叠加态,而还会选者态。波尔有句名言:原先问題在这么 被观察事先这么 说是原先问題。具体地说,对于原先自旋为的粒子,在这么 进行测量事先,这么 说它的自旋为。因此按照波函数的叠加公式,它或许因此指在态。再比如对于原先水平偏振的光子,在这么 被测量事先,亲戚亲戚亲们这么 说它是水平偏振的,因此按照波函数的线性叠加公式,它因此是垂直偏振。你你这名看法与实际删改不符,它因此破坏物理守恒规律,因为着荒诞的结果。

  比如甲向乙发射原先自旋为粒子,乙方接受到的一定是原先自旋为的粒子。因此角动量守恒,粒子的自旋在运动过程中是不因此改变的。同样,甲向乙发射原先水平偏振的光子,因此乙用水平偏振器测量,你你这名光子还会通过,说明你你这名光子的偏振在运动过程中这么 改变。因为着是光的偏振方向假如电场振动方向,光在真空中的传播时电场的方向太大再改变。因此用非水平偏振器来测量,光子以一定的概率通过。因为着是偏振器使光子的电场方向改变,而还会该光子这么 选者的偏振。

  按照量子力学的统计系综解释,波函数是一定量粒子的统计平均结果。比如代表量子系综,代表系综里的原先系统。在任意时刻,量子体系要么指在态,要么指在状况,不因此即指在状况又指在状况,假如因此同去指在态。因此这四种 解释是等价的,假如说法不同罢了。按照系综理论,谈论量子力学线性叠加态的qqqq克隆好友 也是这么 意义。

  事实上,量子通讯中光子的发射方发射的还会单量子态,不因此是叠加态。接收方接收到的也是单量子态,不因此是叠加态。“量子态不可qqqq克隆好友 定理”是原先删改不靠谱的理论,它把qqqq克隆好友 过程用原先这么 简单的算符来描述,不涉及任何相互作用,与实际过程删改不符。在真实的物理学中,要qq克隆好友 原先量子态涉及简化的相互作用。绝不像复印一张图片一样,把原稿装入 复印机,一按键盘就了事。在哪几种基本问題这么 搞清楚事先,就声称量子态不可qqqq克隆好友 。甚至明明知道单量子态和正交态还里能 qqqq克隆好友 ,明明知道激光器假如光子qqqq克隆好友 机,却仍然声称量子态不可qqqq克隆好友 ,是非常荒唐的。

  现有的量子信息理论建立在哥本哈根解释基础上,认为测量事先微观粒子还里能 同去指在多重状况,用测量因为着波函数崩塌来解释一切。以你你这名删改错误的理论为基础,技术开发必然因为着失败。物理学家们耗尽资源和精力,最终都将无功而返。量子通信是原先典型的例子,声称量子通讯具有绝对的保密性,把人类保密通讯原先重要的事情寄托在你你这名删改不靠谱的定理之上,并草率地把量子通讯进行产业化,是对科学和社会不负责任的行为。

  量子计算机则因此是另外原先例子,正是考虑到量子态的线性叠加,才有计算加速的因此。按照量子力学的统计系综解释,任什么时间刻原先微观粒子这么 指在某个选者的状况,不因此指在叠加态,线性叠加假如四种 统计平均的表示最好的妙招。按照量子力学的测量理论,任什么时间刻原先微观粒子还里能 指在叠加态,但测量因为着波函数崩塌。因此叠加态既这么 输入假如能输出,量子计算机就因此是原先空头理论上的东西,在现实中难以实现。你你这名问題例如与量子计算机的消相干问題,但又有不同。从技术上说消相干是因此的,但叠加态的输入和输出是不因此的。这是量子力学基本原理决定的,对测量输入输出叠加态的技术能力的限制。

  目前物理学家声称因此做出量子计算机,因此还会真正的量子叠加态计算机,是值得考虑的。亲戚亲们因此假如利用微观粒子的原先分立状况做成的,与传统电子计算机在本质上是一样的计算机。它假如对传统电子计算机的模拟,而还会真正利用了叠加态,并能进行叠加态并行计算的量子计算机。假如量子计算机专家因此还这么 认识到你你这名点,因此说有些人知道你你这名点,但你会要说出来罢了。关于你你这名问題,作者将另文讨论。

  参考文献

  1. W. K. Wooters, W. H. Zurek, A single quantum can not be cloned, Nature, 1982, 299,5002-5003.

  2. 尹浩,韩阳等,量子通讯原理和技术,电子工业出版社,2013,p.54.

  3. 周世勋,量子力学,复旦大学出版社,1961, p. 337.

  4. 张永德,量子信息物理原理,科学出版社,5006年,p. 187.

  5. 孙昌璞, 量子力学的诠释问題,物理,2017年,46卷,8期,p.481~ 496.